博弈论｜奇数定理
博弈论是一门研究决策理论和策略分析的学科，探讨了个体在互动决策中如何选择策略以最大化自身利益。奇数定理是博弈论中的一项重要定理，它揭示了合作与竞争策略在博弈过程中的关系。本文将探讨奇数定理的起源与意义，带领读者一同探索博弈论中的策略之道。
奇数定理的起源约翰·纳什(JohnNash)在1950年获得诺贝尔奖的博士论文中证明，有限博弈总是有纯策略或混合策略的解决方案。这意味着您可以以收益矩阵形式写下的任何游戏都至少有1个解决方案。这使得博弈游戏可能有1个解决方案，或者可能有2个解决方案，或者可能有n个解决方案，或者可能有无限多个解决方案。
1971年，罗伯特·威尔逊(RobertWilson)在其论文"COMPUTINGEQUILIBRIAOFN-PERSONGAMES"中对纳什均衡结果的存在性进行了改进，得出奇数定理（）。奇数定理指出，几乎所有（注意限定词）有限策略的博弈都存在有限奇数个纳什均衡。这就意味着，一般地说，如果一个博弈有两个纯策略纳什均衡，那么有很大可能存在第三个混合策略的纳什均衡。即对于大多数双均衡博弈问题，一般地说，都应该有一个混合策略纳什均衡。
注意：奇数定理并没有肯定在任何情况下都有有限奇数个纳什均衡，某些情况下可能存在偶数个纳什均衡。即具有偶数个均衡点或无穷多个均衡点的博弈是奇数定理的例外。
所以，可以得出以下结论：
1.若有限博弈不存在纯策略纳什均衡，一定存在一个混合策略纳什均衡
2.若有限博弈存在奇数个纯策略纳什均衡，一般存在一个混合策略纳什均衡，使纳什均衡解为奇数个
在文章《博弈论｜混合策略纳什均衡》中的两个示例中可以证明上述结论。
奇数定理的例外假设在某博弈中有参与人A、B，A有A1、A2策略，B有B1、B2策略，其对应策略收益如下表所示。通过划线法可知，该博弈存在2个纯策略纳什均衡，即：(1,1)与(0,0)。
通过划线法得到的纳什均衡
假设，该博弈也存在混合策略纳什均衡，则按照概率设定如下表所示。
假设存在混合策略纳什均衡时的概率
对A来说：
1×p+0×(1-p)=0×p+0×(1-p)=p=0
对B来说：
1×q+0×(1-q)=0×q+0×(1-q)=q=0
通过上述计算可知，即使假设存在混合策略纳什均衡，得到的均衡解与纯策略纳什均衡(0,0)相同。
混合策略纳什均衡的实际概率
则该博弈只存在2个（偶数个）纳什均衡，是威尔逊奇数定理的例外。
奇数定理的意义奇数定理得到了实证研究的支持和应用。通过对不同博弈情境进行实证分析和案例研究，研究者发现奇数定理在实际博弈中的应用具有一定的普适性和可行性。例如，在合作与竞争的博弈中，通过应用奇数定理，可以研究参与者的策略选择与博弈结果之间的关系，并为决策者提供更具体和实用的指导。
结语博弈论中的奇数定理为我们揭示了在博弈过程中均衡解可能存在的数量。通过理解奇数定理，我们可以更好地理解和分析博弈过程中的合作与竞争策略，并为决策者提供更科学、有效的决策依据。为实际决策提供更具体和实用的指导，推动博弈论的发展和应用。
